Để tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất, ta cần tìm điểm trên đường thẳng (d) mà có khoảng cách đến gốc tọa độ O là lớn nhất.

Đường thẳng (d) có phương trình y = (m^2 + 2)x + 3. Để tìm điểm trên đường thẳng (d) mà có khoảng cách đến gốc tọa độ O là lớn nhất, ta cần tìm điểm trên đường thẳng (d) mà có đường thẳng vuông góc với (d) đi qua gốc tọa độ O.

Đường thẳng vuông góc với (d) có phương trình y = -1/(m^2 + 2)x. Để tìm điểm giao giữa đường thẳng (d) và đường thẳng vuông góc, ta giải hệ phương trình:

(m^2 + 2)x + 3 = -1/(m^2 + 2)x

(m^2 + 2)x^2 + 3x + 1 = 0

Để giải phương trình trên, ta có thể sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Trong đó, a = m^2 + 2, b = 3, c = 1.

Từ đó, ta có hai giá trị x1 và x2. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm trên đường thẳng (d) là lớn nhất khi khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm gần hơn trong hai điểm x1 và x2 là lớn nhất.

Sau khi tìm được giá trị x1 và x2, ta tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm gần hơn trong hai điểm x1 và x2 bằng công thức:

d = √(x^2 + y^2)

Trong đó, x là giá trị của x1 hoặc x2, và y là giá trị tương ứng của y trên đường thẳng (d).

Từ đó, ta có thể tìm được giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) là lớn nhất.