Chứng minh ND là tiếp tuyến của đường tròn (O)

A) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AM là đường cao của tam giác ABC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên BM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Vì BM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên BM = MC.
- Vì BM = MC nên tam giác BMC là tam giác cân tại M.
- Vì BM = MC nên góc BMC = góc MBC.
- Vì góc BMC = góc MBC và góc MBC = góc BAC (góc ở chân đường cao) nên góc BMC = góc BAC.
- Vì góc BMC = góc BAC nên góc BMC là góc nhọn.
- Vì góc BMC là góc nhọn nên góc BMC = 90° - góc ABC.
- Vì góc BMC = 90° - góc ABC và góc BMC = góc BAC nên góc BAC = 90° - góc ABC.
- Vì góc BAC = 90° - góc ABC nên góc BAC là góc nhọn.
- Vì góc BAC là góc nhọn nên góc BAC = góc NBC.
- Vì góc BAC = góc NBC nên góc BAC = góc NBC = góc NBD.
- Vì góc BAC = góc NBC = góc NBD nên tam giác NBD cân tại N.
- Vì tam giác NBD cân tại N nên ND là đường cao của tam giác NBD.
- Vì ND là đường cao của tam giác NBD nên ND vuông góc với BD.
- Vì ND vuông góc với BD nên ND là tiếp tuyến của đường tròn (O).

B) Ta có:
- Góc NBD = góc NBC = góc BAC.
- Vì góc NBD = góc BAC nên tam giác NBD đồng dạng với tam giác BAC.
- Vì tam giác NBD đồng dạng với tam giác BAC nên góc NDB = góc BCA.
- Vì góc NDB = góc BCA nên góc NDB là góc nhọn.
- Vì góc NDB là góc nhọn nên góc NDB = 90° - góc BCD.
- Vì góc NDB = 90° - góc BCD và góc NDB = góc BCA nên góc BCA = 90° - góc BCD.
- Vì góc BCA = 90° - góc BCD nên góc BCA là góc nhọn.
- Vì góc BCA là góc nhọn nên góc BCA = góc BCD.
- Vì góc BCA = góc BCD nên BC là phân giác của góc NBD.

C) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của đường tròn (o) và tia BN.
- Vì đường tròn (o) tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B nên góc EBD = góc BAC.
- Vì góc EBD = góc BAC nên tam giác EBD đồng dạng với tam giác BAC.
- Vì tam giác EBD đồng dạng với tam giác BAC nên góc EDB = góc BCA.
- Vì góc EDB = góc BCA nên góc EDB là góc nhọn.
- Vì góc EDB là góc nhọn nên góc EDB = 90° - góc BCD.
- Vì góc EDB = 90° - góc BCD và góc EDB = góc BCA nên góc BCA = 90° - góc BCD.
- Vì góc BCA = 90° - góc BCD nên góc BCA là góc nhọn.
- Vì góc BCA là góc nhọn nên góc BCA = góc BCD.
- Vì góc BCA = góc BCD nên tam giác BCD cân tại B.
- Vì tam giác BCD cân tại B nên BD là đường cao của tam giác BCD.
- Vì BD là đường cao của tam giác BCD nên BD vuông góc với CD.
- Vì BD vuông góc với CD nên BD là tiếp tuyến của đường tròn (o).
- Vì BD là tiếp tuyến của đường tròn (o) nên N là trung điểm của BK.