Để tìm chữ số tận cùng của A, ta chỉ cần xác định phần dư của A khi chia cho 10.

Ta có công thức tổng của dãy số học: S = a * (1 - r^n) / (1 - r), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên, ta có:
A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^11 + 7^12
= 7 * (1 + 7 + 7^2 + ... + 7^10 + 7^11)
= 7 * (1 - 7^12) / (1 - 7)
= 7 * (1 - 7^12) / (-6)

Để tính phần dư của A khi chia cho 10, ta chỉ cần tính phần dư của (1 - 7^12) khi chia cho 10 và nhân với 7 và -6.

Ta biết rằng phần dư của một số khi chia cho 10 chính là chữ số tận cùng của số đó. Vì vậy, ta chỉ cần tính phần dư của (1 - 7^12) khi chia cho 10.

Để tính phần dư này, ta có thể sử dụng định lý Euler: a^(phi(n)) ≡ 1 (mod n), trong đó a và n là hai số nguyên tố cùng nhau, và phi(n) là hàm số Euler của n.

Với a = 7 và n = 10, ta có phi(n) = phi(10) = 4, vì 10 có 4 số nguyên tố cùng nhau với nó là 1, 3, 7 và 9.

Áp dụng định lý Euler, ta có:
7^4 ≡ 1 (mod 10)

Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với 7^8, ta được:
7^12 ≡ 1 (mod 10)

Vì vậy, phần dư của (1 - 7^12) khi chia cho 10 là 1 - 1 = 0.

Tiếp theo, ta tính phần dư của A khi chia cho 10:
A ≡ 7 * (1 - 7^12) / (-6) ≡ 7 * 0 / (-6) ≡ 0 (mod 10)

Vậy chữ số tận cùng của A là 0.