Cho tam giác ABC có AB < AC,M là trung điểm của BC.Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MP=MI

a) Ta có AB < AC và M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung bình của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = MC và BM = MA.

Giả sử MP = MI, ta cần chứng minh ΔABM = ΔICM.
Ta có:
∠BAM = ∠CAM (do AB < AC nên AM nằm giữa AB và AC)
∠BMA = ∠CMA (do BM = MA)
∠ABM = ∠ICM (do MP = MI)
Vậy, theo góc-góc-góc, ta có ΔABM = ΔICM.

b) Ta đã chứng minh ΔABM = ΔICM, nên ∠BAM = ∠CIM.
Vì ∠BAM = ∠CIM và ∠BAC = ∠CIA (do AI là tia đối của tia MA), nên theo góc-góc, ta có ∠BAC = ∠CIA.
Vậy, AB // CI.

c) Kẻ BH vuông góc với AI và CK vuông góc với AI.
Ta cần chứng minh BH = CK.
Vì AB // CI, nên ∠BAC = ∠CIA.
Vì BH vuông góc với AI và CK vuông góc với AI, nên ∠BAH = ∠CAK.
Vì AB = AC (do tam giác ABC là tam giác cân), nên theo góc-cạnh-góc, ta có ΔBAH = ΔCAK.
Vậy, BH = CK.

d) BH cắt AC tại E và CK cắt BT tại F.
Ta cần chứng minh E, M, F thẳng hàng.
Vì BH // CK (do BH = CK), nên theo góc-kẻ-vạch, ta có ∠BHE = ∠CKF.
Vì ∠BAH = ∠CAK (do ΔBAH = ΔCAK), nên theo góc-góc-góc, ta có ∠BHA = ∠CKA.
Vì ∠BHA = ∠CKA và ∠BHE = ∠CKF, nên theo góc-góc, ta có ∠HEB = ∠FKC.
Vậy, theo góc-góc, ta có ΔBHE = ΔCFK.
Vì BM = MC (do M là trung điểm của BC), nên theo cạnh-cạnh-cạnh, ta có ΔBME = ΔCMF.
Vậy, theo góc-góc-góc, ta có ∠BEM = ∠CFM.
Vậy, E, M, F thẳng hàng.