Cho đường tròn (O) đường kính BC và một điểm A nằm trên đường tròn (BA

a) Ta có đường thẳng d song song với AC nên góc BAC và góc BDA là cặp góc đồng vị. Mà góc BDA là góc ở tâm nên góc BAC cũng là góc ở tâm tương ứng. Vậy BAC = 90 độ.
Vì d song song với AC nên góc BAD và góc BDA là cặp góc đồng vị. Mà góc BDA là góc ở tâm nên góc BAD cũng là góc ở tâm tương ứng. Vậy BAD = 90 độ.
Do đó, tam giác BDA là tam giác vuông tại B. Vì AD là đường cao của tam giác BDA nên D là trung điểm của AB.

b) Gọi E' là giao điểm của tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và đường thẳng d.
Ta có góc BAC = 90 độ (do a) nên góc BAE' = 90 độ.
Vì E' nằm trên tiếp tuyến tại B nên góc E'BA = góc E'AB = 90 độ.
Do đó, tam giác BAE' là tam giác vuông tại A. Vậy E'A là đường cao của tam giác BAE'.
Vậy E'A là đường cao của tam giác BAE' và E' nằm trên đường tròn (O).
Vậy E' cũng là giao điểm của tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và đường thẳng d.
Vậy E' = E.

c) Ta có góc BAC = 90 độ (do a) nên góc BAE = 90 độ.
Vì E nằm trên đường tròn (O) nên góc EBC = góc EAC (cùng nằm trên cùng một cung).
Vậy góc EBC = góc EAC = 90 độ.
Do đó, tam giác EBC là tam giác vuông tại B.
Vì BF là đường cao của tam giác EBC nên E là trung điểm của BF.