Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung bình của cạnh BC. Vậy M là trung điểm của cạnh AB.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Ta có AH là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường trung bình của cạnh BC. Vậy H là trung điểm của cạnh BC.

Do đó, ta có M = H.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên BC. Ta có MK là đường cao của tam giác AMB và cũng là đường trung bình của cạnh AB. Vậy K là trung điểm của cạnh BC.

Vậy ta có M = H = K.

Trên tia MK lấy điểm D sao cho CB = CD. Ta có MK là đường cao của tam giác AMB, nên MK là đường trung tuyến của tam giác ABD. Vậy ta có AM = MD.

Vậy tam giác ABD là tam giác cân.