a) Ta có:
- NM là đường phân giác của góc ANB (do N là điểm đối xứng của A qua M).
- BP là đường phân giác của góc BAN (do P là giao điểm thứ 2 của BN với đường tròn (O)).
Vậy NQ là đường phân giác của góc ANB và góc BAN, nên NQ vuông góc với AB.

b) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của AN và BP.
- Ta có góc NAB = góc NBM (do N là điểm đối xứng của A qua M) và góc NBM = góc NIB (do N, I, B, M cùng thuộc đường tròn (O)).
Vậy góc NAB = góc NIB, nên N, I, A, B cùng thuộc một đường tròn.

c) Ta có:
- Gọi T là giao điểm của RN và đường tròn (B; BA).
- Ta có góc NAB = góc NBM (do N là điểm đối xứng của A qua M) và góc NBM = góc NRT (do N, R, B, M cùng thuộc đường tròn (O)).
Vậy góc NAB = góc NRT, nên RN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

d) Để tứ giác ARNQ là hình vuông, ta cần có:
- AR vuông góc với RN (do ARNQ là hình vuông).
- NQ vuông góc với AB (do NQ vuông góc với AB theo câu a).
- RN vuông góc với AB (do RN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) theo câu c).
Vậy M nằm trên đường tròn (O) để tứ giác ARNQ là hình vuông.