Để chứng minh AD = MQ, ta sẽ sử dụng định lí đồng dạng tam giác.

Do tam giác ABC = tam giác MNP, nên ta có các góc tương ứng bằng nhau: ∠B = ∠M, ∠C = ∠N, ∠A = ∠P.

Vì BD = NQ (theo đề bài), nên ta có thể xem tam giác BDQ = tam giác NQD (do có 2 cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau).

Do đó, ta có các góc tương ứng bằng nhau: ∠BQD = ∠NQD, ∠BDQ = ∠NQD.

Từ đó, ta có ∠BQD = ∠BDQ (do tổng các góc trong tam giác là 180 độ).

Vậy tam giác BDQ = tam giác BDQ (do có 2 góc bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau).

Theo định lí đồng dạng tam giác, ta có:

BD/BQ = BD/NQ (do tam giác BDQ = tam giác NQD)

BD/BQ = BD/NQ = BC/NP (do tam giác ABC = tam giác MNP)

Từ đó, ta có BD/BC = BQ/NP.

Áp dụng định lí đồng dạng tam giác lần nữa, ta có:

tam giác ABD = tam giác QNP (do có 2 cạnh tương ứng bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau).

Do đó, ta có AD = MQ (do tam giác ABD = tam giác QNP).

Vậy ta đã chứng minh được AD = MQ.