a) Ta có AB = AD và AM là tia phân giác của góc A, nên AM cắt đường thẳng BD tại điểm I sao cho AI là đường cao của tam giác ABD. Khi đó, ta có:
∠BAM = ∠DAM (AM là tia phân giác của góc A)
∠BMA = ∠DMA (cùng là góc nhọn)
Vậy tam giác ABM và tam giác ADM có cặp góc tương đồng, nên chúng đồng dạng. Do đó, ∆ ABM = ∆ ADM.

b) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng AI là đường cao của tam giác ABD. Vì vậy, AI vuông góc với BD.

c) Ta có ∆ MBH = ∆ MDC (cùng là tam giác cân, với BM = MC và BH = CD) và ∠MBH = ∠MDC (cùng là góc nhọn). Vậy, ∆ MBH = ∆ MDC.

d) Gọi P là trung điểm của HC. Ta cần chứng minh A, M, P thẳng hàng.
Vì P là trung điểm của HC nên HP = PC. Ta cũng có BM = MC (vì M là trung điểm của BC). Vậy, tam giác BHP và tam giác CMP là tam giác đồng dạng (cùng có cặp cạnh bằng nhau).
Do đó, ∠BHP = ∠CMP. Nhưng ∠BHP = ∠BHM + ∠MHP = ∠MDC + ∠MHP = ∠MDC + ∠MCP = ∠MCP.
Vậy, ∠BHP = ∠CMP, nên tam giác BHP = tam giác CMP.
Từ đó, ta có BP = PM.
Vậy, P là trung điểm của HC và BM.
Khi đó, theo định nghĩa trung điểm, ta có AM đi qua P.
Vậy, A, M, P thẳng hàng.