Để chứng minh rằng các đường thẳng EL, FM và DN đồng quy, ta sẽ sử dụng định lí Ceva.

Đầu tiên, ta cần chứng minh rằng các đường thẳng AO, BO và CO đồng quy. Điều này tương đương với việc chứng minh tứ giác ABCO là tứ giác điều hòa.

Ta biết rằng D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Vì vậy, ta có:

AD = DB, BE = EC, CF = FA

Ta cũng biết rằng L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Vì vậy, ta có:

OL = LA, OM = MB, ON = NC

Từ đó, ta có:

AL = AO - OL = AO - LA
BM = BO - OM = BO - MB
CN = CO - ON = CO - NC

Vì tứ giác ABCO là tứ giác điều hòa, ta có:

AL/BL * BM/CM * CN/AN = 1

Thay các giá trị đã biết vào, ta có:

(AO - LA)/(BO - LB) * (BO - MB)/(CO - MC) * (CO - NC)/(AO - NA) = 1

Simplifying the equation, we get:

(AO - LA)/(AO - NA) * (BO - MB)/(BO - LB) * (CO - NC)/(CO - MC) = 1

Đặt x = AO - LA, y = BO - MB, z = CO - NC. Khi đó, ta có:

AO - NA = AO - (AO - x) = x
BO - LB = BO - (BO - y) = y
CO - MC = CO - (CO - z) = z

Thay vào phương trình trước đó, ta có:

x/y * y/z * z/x = 1

Simplifying the equation, we get:

x^2 = y^2 = z^2

Từ đó, ta có:

x = y = z

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng AO, BO và CO đồng quy.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng các đường thẳng EL, FM và DN đồng quy.

Theo định lí Ceva, ta có:

AL/BL * BM/CM * CN/AN = 1

Thay các giá trị đã biết vào, ta có:

(AO - LA)/(BO - LB) * (BO - MB)/(CO - MC) * (CO - NC)/(AO - NA) = 1

Thay x = AO - LA, y = BO - MB, z = CO - NC, ta có:

x/y * y/z * z/x = 1

Simplifying the equation, we get:

x^2 = y^2 = z^2

Vì các đường thẳng AO, BO và CO đồng quy, ta có x = y = z. Vậy, ta có:

x = y = z

Từ đó, ta có:

AO - LA = BO - MB = CO - NC

Vì vậy, ta có:

EL = AO - LA = BO - MB = DN

FM = BO - MB = CO - NC = DN

Vậy, ta đã chứng minh được rằng các đường thẳng EL, FM và DN đồng quy.