Cho A(1;3); B(2;-4); C(-5;0)

Để tìm điểm M sao cho vecto AM + vecto BM = 3vecto CM, ta có:

vecto AM = (x - 1, y - 3)
vecto BM = (x - 2, y + 4)
vecto CM = (x + 5, y)

Theo đề bài, ta có phương trình:

(x - 1, y - 3) + (x - 2, y + 4) = 3(x + 5, y)

Đặt (x - 1, y - 3) = (a, b), ta có:

(a, b) + (a - 1, b + 7) = 3(a + 6, b + 3)

(a + a - 1, b + b + 7) = 3(a + 6, b + 3)

2a - 1 = 3a + 18
a = -19

Thay a = -19 vào phương trình, ta có:

-19 + b + 7 = 3(-19 + 6)
b = -33

Vậy M(-19, -33).

Để giải tam giác ABC, ta có:

1. Chu vi tam giác ABC:
AB = √[(2 - 1)^2 + (-4 - 3)^2] = √[1 + 49] = √50
BC = √[(-5 - 2)^2 + (0 + 4)^2] = √[49 + 16] = √65
CA = √[(-5 - 1)^2 + (0 - 3)^2] = √[36 + 9] = √45

Chu vi tam giác ABC = AB + BC + CA = √50 + √65 + √45

2. Diện tích tam giác ABC:
S = 1/2 * AB * h

Trong đó, h là đường cao của tam giác ABC.

Đường cao h từ đỉnh A xuống BC, ta có:

h = |(2 - 1)(-5 - 1) + (-4 - 3)(0 - 1)| / √[(2 - 1)^2 + (-4 - 3)^2]
= |-6 / √50|
= 6 / √50

S = 1/2 * √50 * 6 / √50 = 3

3. Đường trung tuyến AM:
Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua trung điểm của BC và song song với BC.

Trung điểm của BC là ((-5 + 2) / 2, (0 - 4) / 2) = (-3/2, -2)

Phương trình đường trung tuyến AM là:

y - (-2) = (y - 3) / (x - (-3/2)) * (x - (-3/2))

Simplifying the equation, we get:

2y + 4 = (y - 3) / (x + 3/2) * (x + 3/2)

4(x + 3/2) = (y - 3)(x + 3/2)

4x + 6 = xy + (3/2)y - 3x - 9/2

7x - (3/2)y = -15/2

Vậy phương trình đường trung tuyến AM là 7x - (3/2)y = -15/2.