Ta có tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.

Vì MN // AB và MP // AC, nên ta có tam giác MNP và tam giác AMN là hai tam giác đồng dạng (có hai cặp góc tương đồng).

Do đó, ta có tỉ số đồng dạng:
MN/AM = NP/AN = MP/AM

Vì O là giao điểm của BN và CP, nên ta có tỉ số đồng dạng:
ON/OB = NP/MB và OP/OC = MP/MC

Từ đó, ta có:
ON/OB = NP/MB = MP/MC = OP/OC

Vậy ta có tứ giác ONBC là tứ giác điều hòa.

Từ đó, ta có:
∠OMP = ∠ONB (do ON // MP)
∠AMN = ∠ANB (do AN // MN)

Vì tứ giác ONBC là tứ giác điều hòa, nên ta có:
∠ONB = ∠OCB

Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có:
∠OCB = ∠ACB

Vậy ta có:
∠OMP = ∠ONB = ∠OCB = ∠ACB

Và:
∠AMN = ∠ANB = ∠ACB

Từ đó, ta có:
∠OMP = ∠AMN

Vậy ta đã chứng minh được rằng OMP = AMN.