Chứng minh SO vuông góc AB

a) Ta có SA và SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠SAB = ∠SBA = 90°
Do đó, SO vuông góc AB.

b) Gọi I là giao điểm của SA và SB, E là giao điểm của SM và ON, H là giao điểm của SN và OM.
Ta có:
∠SAB = ∠SBA = 90° (theo phần a)
∠SMA = ∠SNA = 90° (do M và N là hai điểm trên đường tròn)
∠SME = ∠SNE = 90° (do E và H là hai điểm trên đường tròn)
Do đó, ta có tứ giác SAOM và SANO là tứ giác nội tiếp.
Vậy, ta có:
∠SOA = ∠SMA = 90° (do A và M là hai điểm trên đường tròn)
∠SOB = ∠SNA = 90° (do B và N là hai điểm trên đường tròn)
∠SOE = ∠SME = 90° (do E và M là hai điểm trên đường tròn)
∠SOH = ∠SNE = 90° (do H và N là hai điểm trên đường tròn)
Vậy, ta có SO vuông góc với AB, OE vuông góc với AM, OH vuông góc với AN.
Từ đó, ta suy ra I, E, H, S đều nằm trên đường tròn (O).

c) Ta có:
∠SOA = ∠SMA = 90° (do A và M là hai điểm trên đường tròn)
∠SOB = ∠SNA = 90° (do B và N là hai điểm trên đường tròn)
∠SOE = ∠SME = 90° (do E và M là hai điểm trên đường tròn)
∠SOH = ∠SNE = 90° (do H và N là hai điểm trên đường tròn)
Vậy, ta có tứ giác SOAE và SOHN là tứ giác nội tiếp.
Do đó, ta có:
OI.OM = OA.OE (do tứ giác SOAE là tứ giác nội tiếp)
OI.ON = OB.OH (do tứ giác SOHN là tứ giác nội tiếp)
Từ đó, ta có:
OI.OM = OA.OE = R^2 (do OA = R)
OI.ON = OB.OH = R^2 (do OB = R)
Vậy, ta có OI.OE = OI.OM = R^2.