a) Ta có ΔABC vuông tại A, với AB = 3cm, AC = 4cm và BC = 5cm.
Theo định lí phân giác trong tam giác, ta có:
AD/DB = AC/CB
AD/DB = 4/5
Vì AB = 3cm, nên AD + DB = AB = 3cm
Giải hệ phương trình:
AD + DB = 3
AD/DB = 4/5
Từ đó, ta có:
AD = 12/9 cm
DB = 15/9 cm
Vậy độ dài đoạn thẳng AD là 12/9 cm và độ dài đoạn thẳng DC là 15/9 cm.

b) Để chứng minh MN = 1/2 AB, ta sẽ sử dụng định lí đường trung tuyến trong tam giác.
Gọi E là trung điểm của AB. Ta có ME = AE = 1/2 AB = 1.5cm.
Vì ΔABC vuông tại A, nên đường phân giác BD cũng là đường cao của tam giác ABC.
Do đó, ta có AM = MC.
Vì M là trung điểm của BC, nên MC = 1/2 BC = 2.5cm.
Kẻ đường thẳng MN ⊥ AC tại N. Vì MN ⊥ AC và MN là đường cao của tam giác AEC, nên MN chính là đường trung bình của tam giác AEC.
Vì E là trung điểm của AC, nên MN cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó, ta có MN = 1/2 AB = 1.5cm.

Vậy ta đã chứng minh được rằng MN = 1/2 AB.