Để chứng minh tứ giác EGMF là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau.

Ta có:
- G là trung điểm của AC (do AG là đường cao)
- M là trung điểm của BC
- E là hình chiếu của M tại AB
- F là hình chiếu của M tại AC

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì G là trung điểm của AC, nên AG = GC.

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, nên AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)
- Ta có AM = MC (do M là trung điểm của BC), nên AM² = MC²
- Ta có AG = GC (do G là trung điểm của AC), nên AG² = GC²

Từ đó, ta có:
AB² + AC² = BC²
AB² + AG² + GC² = BC²
AB² + AG² + AG² = BC² (do AG = GC)
AB² + 2AG² = BC²

Vì E là hình chiếu của M tại AB, nên EM vuông góc với AB và EM = AM/2.
Vì F là hình chiếu của M tại AC, nên FM vuông góc với AC và FM = AM/2.

Từ đó, ta có:
EM = FM
AM/2 = AM/2

Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác EGMF là hình thang cân.