Cho ΔABC vuông tại A(AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH

Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các tính chất của các đường cao, đường trung tuyến, đường trung bình trong tam giác.

a) Ta có AH ⊥ BC và HD ⊥ BC, nên AH ⊥ HD. Vì vậy, tứ giác HDEI là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

b) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có AB < AC. Vì vậy, AE < AC.

Giả sử AE = AB, ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử AE = AB, ta có tam giác ABE là tam giác cân (vì AE = AB). Vì M là trung điểm của BE, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABE. Do đó, AM ⊥ BE và M là trung điểm của BE, nên BM = ME.

Vì BM = ME và BM ⊥ AC, nên ta có tam giác BMC là tam giác vuông cân tại M.

Vì BM ⊥ AC và BM = ME, nên ta có BM ⊥ AE và BM = ME.

Vậy, tam giác BME cũng là tam giác vuông cân tại M.

Từ đó, ta có tam giác BME và tam giác BMC là hai tam giác vuông cân cùng có cạnh chung BM. Vậy, ta có tam giác BME ≡ tam giác BMC (theo tính chất của tam giác vuông cân).

Do đó, ta có ME = MC.

Từ đó, ta có AE = AB = ME + MC = MC + MC = 2MC > MC (vì AE < AC).

Mâu thuẫn, vậy giả sử sai.

Vậy, ta có AE ≠ AB. Do đó, ta chứng minh được AE = AB.

c) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có AB < AC.

Vì AE = AB (theo phần b), ta có AE < AC.

Giả sử GB * AC ≠ GC * AE, ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử GB * AC ≠ GC * AE, ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho AC và AE (vì AC và AE khác 0).

Ta được GB/ AE ≠ GC/ AC.

Vì GB/ AE ≠ GC/ AC, nên ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho GB và GC (vì GB và GC khác 0).

Ta được 1/ AE ≠ 1/ AC.

Từ đó, ta có AC ≠ AE.

Mâu thuẫn, vậy giả sử sai.

Vậy, ta có GB * AC = GC * AE.

d) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có AB < AC.

Vì AE = AB (theo phần b), ta có AE < AC.

Giả sử BG/BC ≠ HD/AH + HC, ta sẽ chứng minh điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử BG/BC ≠ HD/AH + HC, ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho BG và HD (vì BG và HD khác 0).

Ta được (BG/BC) / (HD/AH + HC) ≠ 1.

Từ đó, ta có (BG/BC) / (HD/AH + HC) ≠ 1.

Vì BG/BC ≠ HD/AH + HC, nên ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho (HD/AH + HC) (vì (HD/AH + HC) khác 0).

Ta được BG/BC ≠ 1.

Từ đó, ta có BG ≠ BC.

Mâu thuẫn, vậy giả sử sai.

Vậy, ta có BG/BC = HD/AH + HC.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a), b), c), d).