Chứng minh rằng 2 + 2^2 + 2^3+...+ 2^100 chia hết cho 15

Để chứng minh rằng biểu thức 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100 chia hết cho 15, ta sẽ sử dụng định lý chia dư.

Đầu tiên, ta sẽ tính tổng của các số mũ 2 từ 1 đến 100:

S = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^100

Ta biết rằng công thức tổng của một dãy số hình học là:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó, a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên vào biểu thức S, ta có:

S = 2 * (2^100 - 1) / (2 - 1)
= 2 * (2^100 - 1)

Ta cần chứng minh rằng S chia hết cho 15. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho cả 3 và 5.

Đầu tiên, ta chứng minh rằng S chia hết cho 3. Ta biết rằng 2^100 - 1 chia hết cho 3 (vì 2^100 - 1 là một số nguyên chia hết cho 3). Do đó, S = 2 * (2^100 - 1) cũng chia hết cho 3.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng S chia hết cho 5. Ta biết rằng 2^100 - 1 chia hết cho 4 (vì 2^100 - 1 là một số nguyên chia hết cho 4). Do đó, S = 2 * (2^100 - 1) cũng chia hết cho 4. Nhưng vì 2 không chia hết cho 5, nên S không chia hết cho 5.

Từ đó, ta kết luận rằng S chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 5. Vì vậy, S chia hết cho 15.