a) Ta có công thức tổng của dãy số hình thành bởi cơ số 3 và số lượng phần tử là 100:
S = 1 - 3 + 3^2 - 3^3 + ... + 3^98 - 3^99

Để chứng minh rằng S là bội của -20, ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho -20.

Ta biến đổi S như sau:
S = (1 - 3) + (3^2 - 3^3) + (3^4 - 3^5) + ... + (3^98 - 3^99)
= -2 + 3(3 - 3^2) + 3^2(3^2 - 3^3) + ... + 3^49(3^2 - 3^3)

Ta thấy mỗi cặp ngoặc đơn trong dấu ngoặc kép có thể rút gọn thành một số nguyên dương. Vậy ta có:
S = -2 + 3(1) + 3^2(1) + ... + 3^49(1)
= -2 + 3(1 + 3 + 3^2 + ... + 3^48)

Ta biết rằng công thức tổng của dãy số hình thành bởi cơ số 3 và số lượng phần tử là 49 là:
1 + 3 + 3^2 + ... + 3^48 = (3^49 - 1)/(3 - 1) = (3^49 - 1)/2

Vậy ta có:
S = -2 + 3[(3^49 - 1)/2]
= -2 + (3^50 - 3)/2
= (3^50 - 3 - 4)/2
= (3^50 - 7)/2

Ta thấy 3^50 - 7 chia hết cho 2, vậy S chia hết cho -20.

b) Để tính S, ta thay vào công thức đã biến đổi ở phần a:
S = (3^50 - 7)/2

Để suy ra 3^100 chia cho 4d1, ta sẽ tính 3^100 modulo 4d1.

Ta biến đổi 4d1 thành 65:
4d1 = 4*100 + 1 = 401

Ta biết rằng a^b modulo m có thể được tính bằng cách lấy a modulo m, sau đó lấy lũy thừa b modulo m.

Vậy ta có:
3^100 modulo 401 = (3 modulo 401)^100 modulo 401

Ta tính 3 modulo 401:
3 modulo 401 = 3

Vậy ta có:
3^100 modulo 401 = 3^100 modulo 401

Để tính 3^100 modulo 401, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:
Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) modulo p = 1.

Vậy ta có:
3^400 modulo 401 = 1

Vậy ta có:
3^100 modulo 401 = (3^400 modulo 401)^1 modulo 401
= 1^1 modulo 401
= 1

Vậy 3^100 chia hết cho 401.

Từ đó, ta có:
S = (3^50 - 7)/2
= (3^100 - 7)/2
= (401k - 7)/2 (với k là một số nguyên)
= 200k - 3.5

Vậy S chia hết cho 4d1.