Cho tam giác ABC vuông tại A, D là trung điểm AC, lấy điểm E sao cho D là trung điểm của BF

a. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.
Vì tam giác ABC vuông tại A và D là trung điểm của AC, nên ta có:
AD = DC = BC/2 (1)
Vì D là trung điểm của BF, nên ta có:
BD = DF = BC/2 (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra BD = DC = DF, nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

b. Tứ giác AICK là hình thoi.
Vì I là trung điểm của BC và K là trung điểm của AE, nên ta có:
AI = IC = CK = KE (3)
Vì D là trung điểm của BF, nên ta có:
BD = DF = BC/2 (4)
Từ (3) và (4), ta suy ra AI = IC = CK = KE = BD = DF, nên tứ giác AICK là hình thoi.

c. Để tứ giác AICK là hình vuông, ta cần thêm điều kiện AC vuông góc với BC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AC vuông góc với BC.
Vậy, điều kiện j cần thêm là AC vuông góc với BC.