a) Ta có tam giác ABC là tam giác có đường phân giác, nên ta có:
$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$
Mà M là trung điểm của BC, nên ta có:
$BD=DC$
Vậy $\frac{AB}{AC}=1$
Khi đó, ta có:
$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{EK}$
Mà $AE=AK$, nên ta có:
$\frac{AB}{AC}=\frac{AK}{EK}$
Vậy ta có tứ giác AKEB là tứ giác cân, nên ta có:
$AO.OK=AM.OD$
Vậy $AO.OK=OM.OD$

b) Ta có $AB=5$, $AC=10$, $BC=12$
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có $BM=MC=\frac{BC}{2}=6$
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
$AB^2+AC^2=BC^2$
$5^2+10^2=12^2$
$25+100=144$
$125=144$
Vậy tam giác ABC không phải là tam giác vuông.
Vậy ta không thể tính được DB.

c) Ta có $AE=AK$ và $AB=AC$, nên ta có tứ giác AKEB là tứ giác cân.
Vậy ta có $BE=EK$
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có $BM=MC$
Vậy ta có $BE=EK=BM=MC$
Vậy ta có $\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{CM}$

d) Ta có tứ giác AKEB là tứ giác cân, nên ta có $BE=EK$
Vì M là trung điểm của BC, nên ta có $BM=MC$
Vậy ta có $BE=EK=BM=MC$
Vậy ta có $BK=CE$