Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và đường trung trực.

a) Ta có AM = DN (do đã cho), và BM là đường trung trực của AC nên BM cắt AC tại điểm K sao cho AK = CK. Vì BM là đường trung trực của AC nên BM cắt AC tại điểm K sao cho BK = CK. Do đó, ta có AK = BK = CK.

Vì AK = BK = CK, nên tam giác ABK là tam giác đều. Khi đó, ta có góc ABK = 60 độ.

Vì BM cắt MN tại điểm E, nên góc BEM = góc ABK = 60 độ.

Vì BM cắt BC tại điểm F, nên góc BFM = góc ABK = 60 độ.

Vậy, ta có góc BEM = góc BFM = 60 độ, nên E và F đối xứng quay AB.

b) Ta đã chứng minh được góc BEM = góc BFM = 60 độ.

Vì BM là đường trung trực của AC, nên góc ABC = góc BAC = 60 độ.

Vì ABCD là hình bình hành, nên góc BCD = góc ABC = 60 độ.

Vậy, ta có góc BCD = góc BEM = góc BFM = 60 độ.

Do đó, tứ giác MEBF là hình thoi.

c) Để tứ giác BCNE là hình thang cân, ta cần thêm điều kiện là BC = NE.

Vì BC là cạnh của hình bình hành ABCD, nên BC = AD.

Vì BM là đường trung trực của AC, nên BM cắt AC tại điểm K sao cho BK = CK.

Vì BM cắt MN tại điểm E, nên BE = EM.

Vì BM cắt BC tại điểm F, nên BF = FC.

Vậy, ta có BC = AD = NE = BF + FC = BE + EM + FC.

Do đó, để tứ giác BCNE là hình thang cân, ta cần thêm điều kiện BC = NE.