a. Ta có AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MB. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Khi đó, ta có góc AIM = góc BAC = 90 độ. Vậy tứ giác AIMB là hình thang.

b. Gọi I' là điểm đối xứng với M qua AC. Ta cần chứng minh N trùng với I'.

Vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC. Do đó, ta có góc AIC = góc IAC = 45 độ.

Vì N là điểm đối xứng với M qua I, nên góc MIN = góc NIM = góc IAC = 45 độ.

Vì góc AIC = góc MIN = 45 độ, nên tam giác AIC và tam giác MIN là hai tam giác cân.

Vậy, ta có AI = IC và MI = IN.

Do đó, ta có AI' = AI = IC và MI' = MI = IN.

Vậy, N trùng với I', tức là N đối xứng với M qua AC.

c. Ta đã chứng minh ở câu b rằng tam giác AIC và tam giác MIN là hai tam giác cân. Vì vậy, ta có AI = IC và MI = IN.

Vậy tứ giác ANCM là hình thoi.

d. Để tứ giác ANCM là hình vuông, ta cần chứng minh AN = NC và góc ANC = 90 độ.

Vì tứ giác ANCM là hình thoi, nên ta có AN = NC.

Ta đã chứng minh ở câu b rằng góc AIC = góc MIN = 45 độ.

Vì tam giác AIC là tam giác cân, nên góc ANC = 90 độ.

Vậy, tam giác vuông ABC cần có góc ANC = 90 độ để tứ giác ANCM là hình vuông.