a) Ta có góc A = 60 độ, góc BAD = góc CAD (vì BD là phân giác góc BAC), do đó tam giác ABD và tam giác ACD là tam giác cân.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = CM (vì tam giác ABC là tam giác đều), và góc BAC = 60 độ, do đó tam giác BMC cũng là tam giác cân.

Do đó, ta có tam giác BMD cân và tam giác CMD cân. Vì BM = CM, nên góc BMD = góc CMD.

Gọi E' là điểm đối xứng của E qua đường thẳng BD, ta có BD là trung trực của EE'. Vì tam giác BMD cân, nên BD cắt EE' tại trung điểm của EE', ký hiệu là N.

Do đó, ta có BN = DN và góc BND = góc DNE' (vì BD là phân giác góc BDE'), nên tam giác BND và tam giác DNE' là tam giác cân.

Từ đó, ta có góc BNE' = góc DNB = góc DNE' (vì tam giác BND và tam giác DNE' là tam giác cân), nên tam giác BNE' cân.

Vậy tam giác DOE cân.

b) Ta có tam giác ABC là tam giác đều, nên AB = BC = CA.

Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = CM.

Gọi N là trung điểm của BD, ta có BN = ND.

Gọi P là trung điểm của CE, ta có CP = PE.

Áp dụng định lí phân giác, ta có:

Góc BAC = góc BAD + góc CAD = góc BND + góc CNE' = góc BNE'.

Do đó, tam giác BNE' cân, nên BN = NE'.

Từ đó, ta có BE' = BN + NE' = BN + BN = 2BN.

Vì E' là điểm đối xứng của E qua đường thẳng BD, nên BE' = BE.

Vậy, ta có BE = 2BN.

Tương tự, ta có CD = 2DN.

Do đó, BE + CD = 2BN + 2DN = 2(BN + DN) = 2BD = BC.

Vậy, BE + CD = BC.