Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm ngoài đường tròn qua M kẻ tiếp tuyến MA song song với đường tròn. A là tiếp điểm tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn tâm O bán kính R tại 2 điểm C và D, C nằm giữa M và D. Gọi I là trung điểm của dây CD kẻ AH vuông góc với MC tại H. Tính OH

a) Ta có MA là tiếp tuyến của đường tròn tại A, nên MA vuông góc với AO. Mà AH vuông góc với MC, nên AH cũng vuông góc với AO. Vậy tứ giác AHOM là tứ giác nội tiếp.

Gọi E là giao điểm của AH và OM. Ta có tứ giác AHOM là tứ giác nội tiếp, nên góc OHE = góc OAM = 90 độ. Mà góc OHE = góc OME (do HE song song với MC), nên tứ giác OMEH là tứ giác vuông. Vậy OH là đường cao của tam giác OME.

Gọi N là trung điểm của ME. Ta có ON song song với ME và vuông góc với OM (do N là trung điểm của ME). Vậy ON là đường cao của tam giác OME.

Vì OH là đường cao của tam giác OME và ON là đường cao của tam giác OME, nên OH = ON.

Gọi P là trung điểm của OE. Ta có OP song song với OE và bằng một nửa OE (do P là trung điểm của OE). Vậy OP = 1/2 OE.

Mà OE = OM - ME = R - R/2 = R/2.

Vậy OP = 1/2 * R/2 = R/4.

Vậy ON = OP = R/4.

Vậy OH = ON = R/4.

Vậy OH = R/4.

b) Ta có tứ giác AHOM là tứ giác nội tiếp, nên góc OAM = góc OHM.

Mà góc OAM = góc OMA (do MA là tiếp tuyến của đường tròn tại A).

Vậy góc OMA = góc OHM.

Mà góc OMA = góc OMD (do MA song song với CD).

Vậy góc OMD = góc OHM.

Vậy tứ giác MAIO là tứ giác nội tiếp.

c) Gọi K' là giao điểm của KC và đường tròn tâm O. Ta cần chứng minh K' trùng với I.

Ta có góc K'OC = góc K'AC (do KC là tiếp tuyến của đường tròn tại C).

Mà góc K'AC = góc MAC (do MA song song với KC).

Vậy góc K'OC = góc MAC.

Mà góc MAC = góc MOC (do MA là tiếp tuyến của đường tròn tại A).

Vậy góc K'OC = góc MOC.

Vậy K' trùng với I.

Vậy KC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O bán kính R.