a) Ta có AH vuông góc AB và AH vuông góc AC, nên AM và AN là đường cao của tam giác ABC. Do đó, AM và AN cùng vuông góc với BC. Vì vậy, tứ giác AMHN là hình chữ nhật.

b) Ta có DM là đường cao của tam giác ADM và DN là đường cao của tam giác ADN. Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật, nên AM và AN cùng vuông góc với BC. Do đó, DM và DN cùng vuông góc với AB và AC. Vậy tứ giác ADMN là hình bình hành.

c) Ta cần chứng minh rằng D là điểm đối xứng của E qua A. Gọi I là giao điểm của DM và AC. Ta có:

- Vì DM vuông góc AB và DN vuông góc AC, nên DM và DN cùng vuông góc với AB và AC.
- Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật, nên AM và AN cùng vuông góc với BC. Do đó, AM và AN cùng vuông góc với BC.
- Vì tứ giác ADMN là hình bình hành, nên DM và DN cùng vuông góc với AB và AC.

Từ các điều trên, ta có DM và DN là hai đường cao của tam giác ADM và tam giác ADN. Vậy, DM và DN cắt nhau tại I và AI là đường cao của tam giác ADM và tam giác ADN.

Do đó, A là trung điểm của DM và DN. Vì vậy, D là điểm đối xứng của E qua A.

d) Để tứ giác AMHN là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AM = AN, tức là đường cao AH cắt đường trung tuyến MN của tam giác ABC tại trung điểm của MN.