Cho tam giác ABC vuông tại A

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Đường cao AH vuông góc với cạnh AC, nên AHDE là hình chữ nhật.
Vậy AH = DE.

b) Gọi I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC.
Ta có HI // AC và HK // AB (do I và K lần lượt là trung điểm của HB và HC).
Vậy tứ giác DIKE là tứ giác tứ giác tứ diện (do có hai cặp cạnh song song).
Do đó, góc DIK + góc DEK = 180° (điều này suy ra từ tính chất tứ giác tứ diện).
Nhưng góc DEK = 90° (vì DE vuông góc với AC).
Vậy góc DIK = 180° - 90° = 90°.
Từ đó suy ra tứ giác DIKE là hình chữ nhật, nên góc DIK = 90°.

c) Trên tia HC lấy điểm N sao cho HN = HA.
Từ đó suy ra tam giác HAN cân tại H.
Vì HN = HA, nên góc HAN = góc HNA.
Vậy tam giác HAN là tam giác cân vuông tại H.
Do đó, góc HAN = góc HNA = 45° (vì tổng hai góc bằng 90°).
Từ đó suy ra góc HAP = 90° - 45° = 45°.

Gọi Q là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC và đường thẳng AC.
Ta có MQ // BP (do M là trung điểm của BP).
Vì góc AHM = 45° (do tam giác HAN là tam giác cân vuông tại H),
nên góc MQH = 90° - 45° = 45°.
Vậy tam giác MQH là tam giác vuông cân tại Q.
Do đó, góc MQH = góc QMH = 45°.

Từ đó suy ra góc AHM = góc MQH = 45°.