Trên tia MI lấy điểm N sao cho I là trung điểm của MN

a, Chứng minh tứ giác BKIC là hình thang cân:
Ta có trung tuyến AM của tam giác ABC là đường trung bình của tam giác ABC, nên ta có AM = MB.
Vì I là trung điểm AC, nên ta có AI = IC.
Vì K là trung điểm AB, nên ta có AK = KB.
Do đó, ta có AI = IC = AK = KB.
Vậy tứ giác BKIC là hình thang cân.

b, Tứ giác AIMK là hình chữ nhật:
Vì I là trung điểm AC, nên ta có AI = IC.
Vì K là trung điểm AB, nên ta có AK = KB.
Vì I là trung điểm MN, nên ta có MI = IN.
Do đó, ta có AI = IC = AK = KB và MI = IN.
Vậy tứ giác AIMK là hình chữ nhật.

c, Chứng minh AC = MN:
Vì I là trung điểm AC, nên ta có AI = IC.
Vì K là trung điểm AB, nên ta có AK = KB.
Vì I là trung điểm MN, nên ta có MI = IN.
Từ tứ giác AIMK là hình chữ nhật, ta có AI = MI và AK = IK.
Do đó, ta có AI + AK = MI + IK.
Tương đương với AC = MN.

d, Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCM là hình vuông:
Vì ANCM là hình vuông, nên ta có AC = MN.
Từ câu c, ta đã chứng minh được AC = MN khi và chỉ khi AI = IC và AK = KB.
Vậy điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ANCM là hình vuông là AI = IC và AK = KB.