Để chứng minh các quan hệ trong bài toán, ta sẽ sử dụng các định lí về tam giác và hình chữ nhật.

1. Chứng minh tứ giác BDCI là hình chữ nhật:
- Ta có e là trung điểm của AB, nên AE = EB.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB^2 + AC^2 = BC^2 (định lí Pythagoras).
- Vì AB < AC, nên AB^2 < AC^2.
- Khi đó, ta có AB^2 + AC^2 < AC^2 + AC^2 = 2AC^2.
- Từ đó, ta suy ra BC^2 < 2AC^2, hay BC < √2AC.
- Vì e là trung điểm của BC, nên BE = EC = BC/2 < √2AC/2 = AC/√2.
- Vậy, ta có AE = EB < AC/√2.
- Từ đó, ta suy ra tam giác AEC là tam giác vuông cân tại E (vì AE = EB và AE < AC/√2).
- Do đó, góc AEC = 45 độ.
- Vì AD là tia đối của tia ED, nên góc AED = 90 độ.
- Vì góc AEC + góc AED = 45 độ + 90 độ = 135 độ = 180 độ, nên tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp.
- Vì góc AED = 90 độ, nên tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp hình chữ nhật.
- Vậy, tứ giác BDCI là hình chữ nhật.

2. Chứng minh tứ giác ADIC là hình gì:
- Ta đã chứng minh tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp hình chữ nhật.
- Vì tứ giác AEDC là tứ giác nội tiếp hình chữ nhật, nên góc AED = 90 độ.
- Vì góc AED = 90 độ, nên góc ADC = 180 độ - góc AED = 180 độ - 90 độ = 90 độ.
- Vậy, tứ giác ADIC là tứ giác vuông.
- Tuy nhiên, không thể chắc chắn rằng tứ giác ADIC là hình gì cụ thể (hình vuông, hình chữ nhật, hình thang, hình bình hành, v.v.) vì không có đủ thông tin trong đề bài để xác định các cạnh và góc của tứ giác ADIC.

3. Chứng minh tam giác BIA cân:
- Ta đã chứng minh tứ giác BDCI là hình chữ nhật.
- Vì BDCI là hình chữ nhật, nên BD = CI và BC = DI.
- Vì BD = CI, nên góc BDI = góc BID.
- Vì BC = DI, nên góc BCD = góc BDC.
- Từ đó, ta suy ra góc BDI = góc BCD.
- Vì BD = BC, nên góc BDI = góc BCD = góc B.
- Vậy, tam giác BIA có hai góc bằng nhau, nên tam giác BIA là tam giác cân.