a) Do M là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB => DM vuông góc với AB => góc DMA = 90°
     Do N là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC => DN vuông góc với AC => góc DNA = 90°
Xét tứ giác AMDN ta có: góc BAC = góc DMA = góc DNA = 90° => tứ giác AMDN là hình chữ nhật
Suy ra MN = AD (hai đường chéo bằng nhau).
b) Do tứ giác AMDN là hình chữ nhật (theo a) => MD//AN => MD//AC 
Suy ra góc BDM = góc DCN (2 góc đồng vị)
Xét ∆ BMD và ∆ DNC, ta có: góc BMD = góc DNC = 90°
                                                   BD = DC (do D là trung điểm AC)
                                                   góc BDM = góc DCN (chứng minh trên)
=> ∆ BMD = ∆ DNC (Cạnh huyền-góc nhọn)
=> BM = DN (2 cạnh tương ứng)
Xét ∆ ABC vuông tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh huyền BC => AD = BD = DC = 1/2 BC
Mà AD = MN (theo a) => BD = MN
Xét tứ giác BMND có: BM = DN, BD = MN => Tứ giác BMND là hình bình hành (2 cặp cạnh đối bằng nhau).
* Đây là lời giải chi tiết giúp bạn hiểu bài hơn, chúc bạn học tốt!