Cho biểu thức  A = ( n + 1) . ( n + 2) . ( n + 3) . (n+4) . (n+5) + 2 với n ∈ N. Chứng minh A ko là bình phương của bất kì số tự nhiên nào

Để chứng minh A không là bình phương của bất kỳ số tự nhiên nào, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử A là bình phương của một số tự nhiên k, tức là A = k^2.

Ta có:
A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) + 2
= (n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)(n + 3) + 2
= [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)](n + 3) + 2
= [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + 3(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8) + 2.

Giả sử tồn tại một số tự nhiên n sao cho A = k^2, ta có:
[(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + 3(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8) + 2 = k^2.

Nhận xét rằng (n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8) là một số tự nhiên, do đó ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng:
[(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + m = k^2,
với m = 3(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8) + 2.

Ta sẽ chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức trên.

Giả sử tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức trên, tức là [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + m = k^2.

Ta sẽ chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức trên, thì tồn tại số tự nhiên p thỏa mãn biểu thức sau:
p^2 + 3p + 1 = k^2.

Đặt p = n^2 + 6n + 5, ta có:
p^2 + 3p + 1 = (n^2 + 6n + 5)^2 + 3(n^2 + 6n + 5) + 1
= (n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 5 + 3) + 3(n^2 + 6n + 5) + 1
= (n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8) + 3(n^2 + 6n + 5) + 1
= [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)] + 3(n^2 + 6n + 5) + 1
= [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + m + 1.

Vậy, nếu tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn biểu thức [(n^2 + 6n + 5)(n^2 + 6n + 8)]n + m = k^2, thì tồn tại số tự nhiên p thỏa mãn biểu thức p^2 + 3p + 1 = k^2.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng p^2 + 3p + 1 = k^2 không có nghiệm nguyên dương (do đây là phương trình bậc 2), do đó giả thuyết ban đầu là sai.

Vậy, không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn A = k^2 với k là một số tự nhiên.