Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB

a) Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- HD = AH (theo đề bài).
- HD ⊥ BC (theo đề bài).
Vậy tứ giác HDEI là hình chữ nhật.

b) Ta có:
- M là trung điểm của BE nên AM song song với BE.
- HD ⊥ BC nên HD song song với AM.
Vậy tứ giác HADE là hình bình hành.
- AH ⊥ BC nên AH song song với DE.
Vậy tứ giác AHDE là hình bình hành.
- HDEI là hình chữ nhật (theo câu a).
Vậy tứ giác HADEI là hình bình hành.
- AE song song với HD (theo hình bình hành).
Vậy tứ giác AHDEI là hình bình hành có AE là đường chéo.
- Tứ giác AHDEI là hình bình hành nên AE cắt HD ở trung điểm N của HD.
Vậy AN = NE.
- Tứ giác AHDEI là hình bình hành nên AH cắt DE ở trung điểm O của DE.
Vậy AO = OE.
- Tứ giác AHDEI là hình bình hành nên AH cắt EI ở trung điểm P của EI.
Vậy AP = PE.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên AH ⊥ DE và AH ⊥ EI.
Vậy DE ⊥ EI.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên DE song song với AI.
Vậy DE ⊥ AI.
Vậy AE ⊥ AI.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên EI song song với HD.
Vậy EI ⊥ HD.
Vậy AE ⊥ HD.
Vậy AE ⊥ BC.
Vậy AE là đường cao của tam giác ABC.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AE là đường cao của tam giác ABC.
Vậy AE = AB.

c) Ta có:
- M là trung điểm của BE nên AM song song với BE.
- G là trung điểm của AM nên BG song song với AC.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên AH ⊥ DE và AH ⊥ EI.
Vậy DE ⊥ EI.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên EI song song với HD.
Vậy EI ⊥ HD.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên HD ⊥ BC.
Vậy EI ⊥ BC.
Vậy EI là đường cao của tam giác ABC.
- Tam giác ABC vuông tại A nên EI là đường cao của tam giác ABC.
Vậy EI ⊥ AC.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AE là đường cao của tam giác ABC.
Vậy AE ⊥ AC.
Vậy AE và EI là hai đường cao của tam giác ABC.
- G là trung điểm của AM nên BG song song với AC.
Vậy tam giác BGC và tam giác BAE đồng dạng.
- M là trung điểm của BE nên AM song song với BE.
Vậy tam giác BAE và tam giác MGC đồng dạng.
- Vậy tam giác BGC và tam giác MGC đồng dạng.
- Vậy GB/CG = BM/CM.
- M là trung điểm của BE nên BM = ME.
- G là trung điểm của AM nên CM = AG.
- Vậy GB/CG = ME/AG.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên AH = DE.
- AE = AB (theo câu b).
- Vậy GB/CG = DE/AB.
- Tứ giác AHDEI là hình chữ nhật nên AH = DE.
- AE = AB (theo câu b).
- Vậy GB/CG = AH/AB.
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH = AB.
Vậy GB/CG = 1.
- Vậy GB.AC = GC.AE.