Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox xác định hai điểm A và B sao cho điểm A nằm giữa hai điểm O và B. Trên tia Oy xác định hai điểm C và D sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng:

a) Ta có OC = OA và OD = OB, suy ra OC = OD. Vì O là góc nhọn nên OC và OD không trùng nhau. Do đó, O là trung điểm của CD. Từ đó, ta có AC = AD và BC = BD. Vì A nằm giữa O và B nên AD < AB. Tương tự, vì B nằm giữa O và A nên BC < BA. Kết hợp với AC = AD và BC = BD, ta có AD = BC.

b) Ta có OC = OA và OD = OB, suy ra OC = OD. Vì O là trung điểm của CD nên OC cắt BD làm hai đoạn bằng nhau. Gọi E là giao điểm của OC và BD. Ta có OE = EC và OD = OB, suy ra OB = EC. Vì O là trung điểm của CD nên OB cắt CD làm hai đoạn bằng nhau. Gọi F là giao điểm của OB và CD. Ta có OF = FB và OC = OA, suy ra OA = FB. Kết hợp với OB = EC, ta có OA = FB = EC.

Áp dụng định lý hai đường trung bình trong tam giác OBC, ta có AI là đường trung bình của tam giác OBC. Vì O là trung điểm của CD nên AI cắt CD làm hai đoạn bằng nhau. Từ đó, ta có AI = IC.

c) Ta có OC = OA và OD = OB, suy ra OC = OD. Vì O là trung điểm của CD nên OC cắt BD làm hai đoạn bằng nhau. Gọi E là giao điểm của OC và BD. Ta có OE = EC và OD = OB, suy ra OB = EC. Vì O là trung điểm của CD nên OB cắt CD làm hai đoạn bằng nhau. Gọi F là giao điểm của OB và CD. Ta có OF = FB và OC = OA, suy ra OA = FB. Kết hợp với OB = EC, ta có OA = FB = EC.

Áp dụng định lý hai đường trung bình trong tam giác OBC, ta có OI là đường trung bình của tam giác OBC. Vì O là trung điểm của CD nên OI cắt CD làm hai đoạn bằng nhau. Từ đó, ta có OI vuông góc với BD.