a) Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác có đường phân giác AD, nên ta có AM/MB = AD/DB (định lý đường phân giác trong tam giác).
- Tam giác ADO và MDO là tam giác đồng dạng (cùng có góc DOA là góc nhọn), nên ta có AO/OM = AD/MD (định lý đồng dạng tam giác).
Từ hai phương trình trên, suy ra: AO.OM = AM.MD = MO.OD
Vậy, ta có AO.OK = OM.OD.

b) Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác có đường phân giác AD, nên ta có AM/MB = AD/DB (định lý đường phân giác trong tam giác).
- M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC.
Từ hai phương trình trên, suy ra: AM/MB = AD/DB = AD/(BM-MC) = AD/(BC/2 - BC/2) = AD/0 = ∞.
Vậy, ta có DB = ∞.

c) Ta có:
- AE = AK (đường thẳng song song với đường phân giác cắt AB, AC tạo ra hai cặp góc đồng nhất, nên ta có hai cặp cạnh bằng nhau).
- AB/CE = BD/CM (đường thẳng song song với đường phân giác cắt AB, AC tạo ra hai cặp góc đồng nhất, nên ta có hai cặp cạnh tương tự).
Vậy, ta có AE = AK và AB/CE = BD/CM.

d) Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác có đường phân giác AD, nên ta có AM/MB = AD/DB (định lý đường phân giác trong tam giác).
- Tam giác ABC là tam giác có đường phân giác AD, nên ta có AK/KC = AD/DC (định lý đường phân giác trong tam giác).
- M là trung điểm của BC, nên ta có BM = MC.
Từ ba phương trình trên, suy ra: AM/MB = AD/DB = AK/KC = AD/DC = AD/(BM-MC) = AD/(BC/2 - BC/2) = AD/0 = ∞.
Vậy, ta có BK = CE.