a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Vì vậy, AH là đường phân giác góc BAC. Do đó, ta có:
∠BAH = ∠CAH
Vì BD và CE là các tiếp tuyến với đường tròn tâm A, nên ta có:
∠BAD = ∠BDA và ∠CAE = ∠CEA
Từ đó, ta có:
∠BAD + ∠CAE = ∠BDA + ∠CEA
∠BAH + ∠CAH = ∠BDA + ∠CEA
∠DAH + ∠EAH = ∠BDA + ∠CEA
∠DAH + ∠EAH = ∠DAH + ∠EAH
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Ta có:
BH = 2 cm và HC = 8 cm
Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
BH * HC = AH^2
2 * 8 = AH^2
16 = AH^2
AH = √16
AH = 4 cm
Vì DE là tiếp tuyến với đường tròn tâm A, nên ta có:
AD = AE = AH = 4 cm
Vậy DE = AD + AE = 4 + 4 = 8 cm.

c) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
∠BAC = 90°
Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng, nên ta có:
∠DAH + ∠EAH = 180°
Vì DE là tiếp tuyến với đường tròn tâm A, nên ta có:
∠DAH = ∠DEH và ∠EAH = ∠DEH
Từ đó, ta có:
∠DAH + ∠EAH = ∠DAH + ∠DAH = 2∠DAH
2∠DAH = 180°
∠DAH = 90°
Vậy DHE = 90°.

d) Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
∠BAC = 90°
Vì DE là tiếp tuyến với đường tròn tâm A, nên ta có:
∠DAH = ∠DEH và ∠EAH = ∠DEH
Vì DHE = 90°, nên ta có:
∠DAH + ∠EAH + ∠DEH = 180°
∠DAH + ∠EAH + 90° = 180°
∠DAH + ∠EAH = 90°
Vì ∠DAH = ∠DEH và ∠EAH = ∠DEH, nên ta có:
2∠DEH = 90°
∠DEH = 45°
Vậy DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.