Chứng minh rằng tứ giác ABHD là hình vuông

a) Ta có A=D=90 độ và AB = AD = 1/2CD. Khi đó, ta có:
AB/AD = 1/2CD/AD = 1/2
Vậy tứ giác ABHD là hình vuông.

b) Gọi E là trung điểm của AD. Ta có:
AE = 1/2AD = 1/4CD
Vì A=D=90 độ nên ta có:
AE = DE = 1/4CD
Do đó, ta có:
AH = AE + EH = 1/4CD + 1/4CD = 1/2CD = BC
Vậy AH = BC.

Gọi N là trung điểm của AC. Ta có:
AN = 1/2AC = 1/2(AB + BC) = 1/2(1/2CD + CD) = 3/4CD
Do đó, ta có:
AN = DN = 3/4CD
Vì A=D=90 độ nên ta có:
AN = DN = 3/4CD
Vậy ba điểm A, M, C thẳng hàng.

c) Ta có:
DI vuông góc với AC và AH cắt DI tại P và DM tại Q.
Vì tứ giác ABHD là hình vuông nên ta có:
AH vuông góc với BD và AH cắt BD tại I.
Do đó, ta có:
DI vuông góc với AC và AH cắt DI tại P và DM tại Q.
Vậy tứ giác DPBQ là hình thoi.