a. Để hàm số (1) là hàm số bậc nhất, ta cần xác định một điều kiện. Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a và b là hằng số. So sánh hàm số (1) với dạng này, ta có:
a = m + 1
b = 2m

Để hàm số (1) là hàm số bậc nhất, ta cần một điều kiện là a không phụ thuộc vào x. Tức là a là một hằng số. Từ đó, ta có:
m + 1 = a = hằng số

b. Để hai hàm số (1) và y = 3x + 6 song song nhau, ta cần xác định một điều kiện. Hai hàm số song song có cùng hệ số góc. So sánh hệ số góc của hai hàm số, ta có:
m + 1 = 3

Từ đó, ta tìm được giá trị của m là:
m = 3 - 1 = 2

c. Để chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m, ta cần chứng minh rằng đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định, không phụ thuộc vào giá trị của m.

Để chứng minh điều này, ta chọn một giá trị cụ thể cho m, ví dụ m = 0. Khi đó, ta có:
a = m + 1 = 0 + 1 = 1
b = 2m = 2 * 0 = 0

Với m = 0, hàm số (1) trở thành y = x. Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ (0, 0).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.