Rút gọn A

Để rút gọn biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 9^2}{2^{12} \cdot 3^6 + 8^4 \cdot 3^5} - \frac{5^{10} \cdot 7^3 - 25^5 \cdot 49^2}{125^3 \cdot 7^3 + 5^9 \cdot 14^3}
\]

Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức.

**Phần tử trên:**

1. Thay \( 4^6 \) bằng \( (2^2)^6 = 2^{12} \).
2. Thay \( 9^2 \) bằng \( (3^2)^2 = 3^4 \).
3. Vậy \( 4^6 \cdot 9^2 = 2^{12} \cdot 3^4 \).

Vậy biểu thức trên trở thành:
\[
2^{12} \cdot 3^5 - 2^{12} \cdot 3^4 = 2^{12}(3^5 - 3^4) = 2^{12} \cdot 3^4 (3 - 1) = 2^{12} \cdot 3^4 \cdot 2
\]
Tức là \( 2^{13} \cdot 3^4 \).

4. \( 8^4 \) là \( (2^3)^4 = 2^{12} \).

Vậy mẫu sẽ là:
\[
2^{12} \cdot 3^6 + 2^{12} \cdot 3^5 = 2^{12}(3^6 + 3^5) = 2^{12} \cdot 3^5 (3 + 1) = 2^{12} \cdot 3^5 \cdot 4
\]
Tức là \( 2^{12} \cdot 3^5 \cdot 4 \).

**Kết quả phần tử trên:**
\[
\frac{2^{13} \cdot 3^4}{2^{12} \cdot 3^5 \cdot 4} = \frac{2^{13 - 12} \cdot 3^{4 - 5}}{4} = \frac{2^1 \cdot 3^{-1}}{4} = \frac{2}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6}.
\]

Bước 2: Rút gọn phần tử dưới.

1. Thay \( 25^5 \) bằng \( (5^2)^5 = 5^{10} \) và \( 49^2 \) bằng \( (7^2)^2 = 7^4 \).
2. Vậy \( 25^5 \cdot 49^2 = 5^{10} \cdot 7^4 \).

**Tử:**
\[
5^{10} \cdot 7^3 - 5^{10} \cdot 7^4 = 5^{10} (7^3 - 7^4) = 5^{10} \cdot 7^3 (1 - 7) = -6 \cdot 5^{10} \cdot 7^3.
\]

**Mẫu:**
Với \( 125^3 = (5^3)^3 = 5^9 \) và \( 14^3 = (2 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 7^3 \).
\[
5^9 \cdot 7^3 + 5^9 \cdot (2^3 \cdot 7^3) = 5^9 \cdot 7^3 (1 + 2^3) = 5^9 \cdot 7^3 \cdot 9.
\]

**Kết quả phần tử dưới:**
\[
\frac{-6 \cdot 5^{10} \cdot 7^3}{5^9 \cdot 7^3 \cdot 9} = \frac{-6 \cdot 5^{10 - 9}}{9} = \frac{-6 \cdot 5^1}{9} = \frac{-30}{9} = -\frac{10}{3}.
\]

Cuối cùng, lắp lại biểu thức:
\[
A = \frac{1}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{10}{3} = \frac{1}{6} + \frac{20}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}.
\]

Kết quả rút gọn của \( A \) là:
\[
A = \frac{7}{2}.
\]