Cho hình thang ABCD, CD là đáy lớn

a) Ta có:
- Vì AH vuông góc với CD nên AH là đường cao của tam giác ACD.
- M là trung điểm của AC nên AM = MC.
- N là trung điểm của AD nên AN = ND.
- HN và BA cắt nhau tại T.

Do đó, ta có:
- AT = AM + MT = MC + MT = CT (vì M là trung điểm của AC).
- DH = DN + NH = AN + NH = AH (vì N là trung điểm của AD).

Vậy AT = DH và tứ giác AHDT là hình chữ nhật.

b) Ta có:
- Tứ giác BTHC là tứ giác nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do T, H, B, C cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
- Tứ giác BTHC là tứ giác nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD (do T, H, C, D cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD).
- Do đó, tứ giác BTHC là tứ giác nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ACD, tứ giác nội tiếp đồng thời hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và ACD là tứ giác nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Vậy tứ giác BTHC là hình bình hành.