a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của (O) nên góc BAO = góc BCA (góc 1)
- AC là tiếp tuyến của (O) nên góc CAO = góc CBA (góc 2)
- Góc BAO + góc CAO = 180 độ (góc 3) (do AB và AC là hai tiếp tuyến của (O))
Từ (góc 1), (góc 2) và (góc 3), ta có góc BCA = góc CBA.
Do đó, BC là cạnh đối của góc BCA trong tam giác ABC nên AH là đường trung trực của BC.

b) Ta có:
- Góc BAO = góc BCA (vì AB là tiếp tuyến của (O))
- Góc BAE = góc BDA (cùng là góc nội tiếp chắn cung BD trên đường tròn (O))
Từ đó, ta có hai tam giác ABE và ABD đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AB/AE = AD/AB.
Từ đó, ta có AB^2 = AE.AD.

c) Ta có:
- Góc EAN = góc EMA (cùng là góc nội tiếp chắn cung AE trên đường tròn (O))
- Góc EAN = góc ECA (vì AE và AC là hai tiếp tuyến của (O))
Từ đó, ta có hai tam giác EAN và EMA đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AN/AE = AM/AN.
Từ đó, ta có AM.AN = AE^2.
Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB^2 = AE^2.
Do đó, ta có AM.AN = AB^2.
Từ đó, ta có chu vi tam giác AMN = AM + AN = AB.

d) Ta có:
- Góc EAN = góc EMA (cùng là góc nội tiếp chắn cung AE trên đường tròn (O))
- Góc EAN = góc ECA (vì AE và AC là hai tiếp tuyến của (O))
Từ đó, ta có hai tam giác EAN và EMA đồng dạng (có hai góc bằng nhau).
Do đó, ta có tỉ số đồng dạng: AN/AE = AM/AN.
Từ đó, ta có AM.AN = AE^2.
Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên AB^2 = AE^2.
Do đó, ta có AM.AN = AB^2.
Từ đó, ta có chu vi tam giác AMN = AM + AN = AB.
Vì AE // IP (do cùng vuông góc với BC), nên ta có tỉ số đồng dạng: AE/AN = IP/IP.
Từ đó, ta có AE/AN = IP/EP.
Do đó, ta có AE // IP.