Để chứng minh AK là đường trung tuyến của tam giác APQ, ta cần chứng minh AK song song với PQ và AK = 1/2PQ.

a. Chứng minh AK song song với PQ:
Ta có đường thẳng EF song song với AB, nên theo giao điểm của các đường thẳng, ta có:
∠EAB = ∠EKF (do AK song song với EF)
∠EAB = ∠EQP (do PQ song song với AB)
Vậy ta có ∠EKF = ∠EQP.
Tương tự, ta có ∠EAF = ∠EPQ.
Do đó, ta có ∠EKF = ∠EAF và ∠EQP = ∠EPQ.
Vậy ta có AK song song với PQ.

b. Chứng minh AK = 1/2PQ:
Ta có ∠EKF = ∠EQP (do AK song song với EF)
Vậy ta có ∠EKF = ∠EQP.
Tương tự, ta có ∠EAF = ∠EPQ.
Do đó, ta có ∠EKF = ∠EAF và ∠EQP = ∠EPQ.
Vậy ta có hai góc cân ∠EKF và ∠EAF bằng nhau và hai góc ∠EQP và ∠EPQ bằng nhau.
Vì AK song song với PQ, nên ta có hai tam giác AKF và PQE là hai tam giác đồng dạng.
Theo định lý đồng dạng, ta có:
AK/PQ = AF/EQ = AM/EC (do tam giác AMF và tam giác EQC đồng dạng)
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có AM = 1/2BC.
Vậy ta có AK/PQ = 1/2BC/EC = 1/2BC/(BC - BE) (do EC = BC - BE)
= 1/2BC/BC(1 - BE/BC) = 1/2(1 - BE/BC)
= 1/2(1 - 1/2) (do tam giác ABC và tam giác ABE đồng dạng)
= 1/2(1/2) = 1/4
Vậy ta có AK = 1/4PQ.
Từ đó suy ra AK = 1/2PQ.

Vậy ta đã chứng minh được AK là đường trung tuyến của tam giác APQ.

Để chứng minh DK = CF, ta cần chứng minh DK song song với CF và DK = CF.

Ta có đường thẳng EF song song với AC, nên theo giao điểm của các đường thẳng, ta có:
∠EAC = ∠EDK (do DK song song với EF)
∠EAC = ∠ECF (do CF song song với AB)
Vậy ta có ∠EDK = ∠ECF.
Tương tự, ta có ∠EAM = ∠ECF.
Do đó, ta có ∠EDK = ∠EAM và ∠ECF = ∠EAM.
Vậy ta có hai góc ∠EDK và ∠EAM bằng nhau và hai góc ∠ECF và ∠EAM bằng nhau.
Vì DK song song với CF, nên ta có hai tam giác DKM và CFM là hai tam giác đồng dạng.
Theo định lý đồng dạng, ta có:
DK/CF = DM/FM = DM/AM (do tam giác DMK và tam giác FMC đồng dạng)
Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có AM = 1/2BC.
Vậy ta có DK/CF = DM/AM = DM/(1/2BC)
= 2DM/BC
Vậy ta có DK = 2DM/BC * CF.
Từ đó suy ra DK = CF.

Vậy ta đã chứng minh được DK = CF.