Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC. Trên tia HC, lấy điểm M sao cho HA = HM. Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt AC tại N. Kẻ NP vuông góc với AH (P thuộc AH)

a) Ta có HA = HM và AH vuông góc với BC nên tam giác HAM vuông tại A. Do đó, ta có:
∠HAN = 90° - ∠HAM = 90° - ∠HAC = ∠ACB
Vì ∠HAN = ∠ACB và ∠HNA = ∠CAB (do NP vuông góc với AH), nên tam giác HAN và tam giác ACB có hai góc tương đương nhau. Do đó, ta có:
∠HNA = ∠CAB = ∠HAN
Vậy tứ giác MNPH là hình chữ nhật.

b) Ta có HA = HM và ∠HAN = ∠CAB, nên tam giác HAN và tam giác CAB là hai tam giác cân có cạnh chung HA. Do đó, ta có:
AB = AN

c) Ta có ∠HAN = ∠CAB và ∠HNA = ∠BAC, nên tam giác HAN và tam giác CAB có hai góc tương đương nhau. Do đó, ta có:
∠HNA = ∠CAB = ∠HAN
Vậy tam giác HAN và tam giác ACB là hai tam giác cân có cạnh chung HA. Do đó, ta có:
AN/NC = AH/HB = AQ/QB
Vậy AN/NC = AQ/QB.