Để chứng minh OM vuông góc AB tại H, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R), nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
∠MAB = ∠MBA = 90°

Gọi E là giao điểm của đường kính BD và đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh ME.MD = MH.MO.

Vì BD là đường kính của đường tròn (O;R), nên theo tính chất của đường kính, ta có:
∠MDO = 90°

Vì ∠MAB = ∠MBA = 90°, nên ta có:
∠MDO = ∠MHE

Vì ∠MDO = ∠MHE và ∠MDO = 90°, nên ta có:
∠AHE = ∠MHE

Vì ∠AHE = ∠MHE và ∠AHE = ∠MDO, nên ta có:
∠AHE = ∠MDO

Vậy ta có ∆AHE và ∆MDO có cặp góc bằng nhau, nên theo tính chất của các tam giác tương đồng, ta có:
ME/MD = MH/MO

Vậy ta đã chứng minh được ME.MD = MH.MO.

Gọi J là hình chiếu của A lên đường tròn (O;R). Ta cần chứng minh M, P, D thẳng hàng.

Vì J là hình chiếu của A lên đường tròn (O;R), nên ta có:
∠AJP = 90°

Vì ∠AJP = 90° và ∠MDO = 90°, nên ta có:
∠AJP = ∠MDO

Vậy ta có ∆AJP và ∆MDO có cặp góc bằng nhau, nên theo tính chất của các tam giác tương đồng, ta có:
MP/MD = MJ/MO

Vậy ta đã chứng minh được M, P, D thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được OM vuông góc AB tại H, ME.MD = MH.MO và góc AHE = góc MDO, cũng như M, P, D thẳng hàng.