Để phân tích đa thức này thành nhân tử, ta sẽ tìm các nhân tử có thể có của đa thức.

Đa thức: X^3 -x +3xy^2 +3x^2y+y^3 -y

Ta thấy rằng đa thức này có thể được phân tích thành tổng của hai đa thức:
(X^3 + 3xy^2 + 3x^2y) và (-x + y^3 - y)

Đầu tiên, ta phân tích đa thức X^3 + 3xy^2 + 3x^2y:
X^3 + 3xy^2 + 3x^2y = x(X^2 + 3y^2) + 3xy(X + y)

Tiếp theo, ta phân tích đa thức -x + y^3 - y:
-x + y^3 - y = -x + y(y^2 - 1) = -x + y(y - 1)(y + 1)

Vậy, đa thức ban đầu có thể được phân tích thành nhân tử như sau:
(X^2 + 3y^2)(x + 3xy) + (-x + y(y - 1)(y + 1))