Để tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 5n + 14 chia hết cho n + 2, ta sẽ sử dụng phép chia Euclid.

Giả sử 5n + 14 chia hết cho n + 2, tức là tồn tại một số nguyên k sao cho:

5n + 14 = k(n + 2)

Mở ngoặc và rút gọn ta được:

5n + 14 = kn + 2k

Chuyển các thành phần chứa n về cùng một vế và các thành phần không chứa n về cùng một vế, ta có:

5n - kn = 2k - 14

Factor out n:

n(5 - k) = 2k - 14

Giả sử 5 - k khác 0, ta có:

n = (2k - 14)/(5 - k)

Để n là số tự nhiên, ta cần 2k - 14 chia hết cho 5 - k.

Sử dụng phép chia Euclid, ta có:

(2k - 14) = q(5 - k) + r

Với q là số nguyên thương và r là số dư.

Để r = 0, ta có:

2k - 14 = q(5 - k)

2k - 14 = 5q - qk

k(2 + q) = 5q + 14

Giả sử 2 + q khác 0, ta có:

k = (5q + 14)/(2 + q)

Để k là số tự nhiên, ta cần 5q + 14 chia hết cho 2 + q.

Sử dụng phép chia Euclid, ta có:

(5q + 14) = p(2 + q) + r

Với p là số nguyên thương và r là số dư.

Để r = 0, ta có:

5q + 14 = p(2 + q)

5q + 14 = 2p + pq

q(5 - p) = 2p - 14

Giả sử 5 - p khác 0, ta có:

q = (2p - 14)/(5 - p)

Để q là số tự nhiên, ta cần 2p - 14 chia hết cho 5 - p.

Sử dụng phép chia Euclid, ta có:

(2p - 14) = s(5 - p) + r

Với s là số nguyên thương và r là số dư.

Để r = 0, ta có:

2p - 14 = s(5 - p)

2p - 14 = 5s - sp

p(2 + s) = 5s + 14

Giả sử 2 + s khác 0, ta có:

p = (5s + 14)/(2 + s)

Để p là số tự nhiên, ta cần 5s + 14 chia hết cho 2 + s.

Tiếp tục quá trình này, ta sẽ tìm được tất cả các giá trị của p, q, k, n thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Tuy nhiên, quá trình này có thể rất phức tạp và mất nhiều thời gian. Do đó, việc tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 5n + 14 chia hết cho n + 2 có thể không khả thi trong một thời gian hợp lý.