Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm

a) Ta có:
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OAB = ∠OCA = 90°.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OBA = ∠OCA = 90°.
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất đường kính, ta có: ∠ODB = 90°.
- Vì K là trung điểm của ED, nên theo tính chất trung điểm, ta có: KD = KE.
- Vì KD = KE và ∠ODB = ∠OEB = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠KDE = ∠KED.
- Vì ∠KDE = ∠KED, nên theo tính chất góc cân, ta có: KD = KE = KC.
- Vì KD = KC và ∠ODB = ∠OBC = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠KDC = ∠KCD.
- Vì ∠KDC = ∠KCD, nên theo tính chất góc cân, ta có: KD = KC = KB.
- Vậy ta có: KD = KE = KC = KB.
- Vì K là trung điểm của ED, nên theo tính chất trung điểm, ta có: KD = KE.
- Vậy ta có: KD = KE = KC = KB = KO.
- Vậy ta có: OA = OB = OC = OK.
- Vậy ta có: A, B, O, K, C cùng nằm trên một đường tròn.
- Vì OA = OB = OC = OK, nên theo tính chất đường kính, ta có: OA ⊥ BC.
- Vậy ta có: OA ⊥ BC.

b) Ta có:
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OAB = ∠OCA = 90°.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OBA = ∠OCA = 90°.
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất đường kính, ta có: ∠ODB = 90°.
- Vì AB cắt (O) tại điểm thứ hai là E, nên theo tính chất góc nội tiếp, ta có: ∠AEB = ∠ACB.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠AEB = ∠ACB = 90°.
- Vậy ta có: ∠AEB = ∠ACB = 90°.
- Vì ∠AEB = ∠ACB = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠EAB = ∠CAB.
- Vậy ta có: ∠EAB = ∠CAB.
- Vì ∠EAB = ∠CAB, nên theo tính chất góc cân, ta có: AE = AC.
- Vậy ta có: AE.AD = AC2.

c) Ta có:
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OAB = ∠OCA = 90°.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠OBA = ∠OCA = 90°.
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên theo tính chất đường kính, ta có: ∠ODB = 90°.
- Vì AB cắt (O) tại điểm thứ hai là E, nên theo tính chất góc nội tiếp, ta có: ∠AEB = ∠ACB.
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: ∠AEB = ∠ACB = 90°.
- Vậy ta có: ∠AEB = ∠ACB = 90°.
- Vì ∠AEB = ∠ACB = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠EAB = ∠CAB.
- Vậy ta có: ∠EAB = ∠CAB.
- Vì ∠EAB = ∠CAB, nên theo tính chất góc cân, ta có: AE = AC.
- Vì AE = AC, nên theo tính chất góc cân, ta có: ∠AEC = ∠ACE.
- Vậy ta có: ∠AEC = ∠ACE.
- Vì ∠AEC = ∠ACE, nên theo tính chất góc cân, ta có: AE = AC = EC.
- Vậy ta có: AE = AC = EC.
- Vì K là trung điểm của ED, nên theo tính chất trung điểm, ta có: KD = KE.
- Vì KD = KE và ∠ODB = ∠OEB = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠KDE = ∠KED.
- Vậy ta có: ∠KDE = ∠KED.
- Vì ∠KDE = ∠KED, nên theo tính chất góc cân, ta có: KD = KE = KC.
- Vậy ta có: KD = KE = KC.
- Vì KD = KE = KC, nên theo tính chất góc cân, ta có: ∠KDC = ∠KCD.
- Vậy ta có: ∠KDC = ∠KCD.
- Vì ∠KDC = ∠KCD, nên theo tính chất góc cân, ta có: KD = KC = KB.
- Vậy ta có: KD = KC = KB.
- Vì KD = KC = KB và ∠ODB = ∠OBC = 90°, nên theo tính chất góc vuông cân, ta có: ∠KDC = ∠KCD = ∠KBD.
- Vậy ta có: ∠KDC = ∠KCD = ∠KBD.
- Vì ∠KDC = ∠KCD = ∠KBD, nên theo tính chất góc cân, ta có: KD = KC = KB = KO.
- Vậy ta có: KD = KC = KB = KO.
- Vì KD = KC = KB = KO, nên theo tính chất đường kính, ta có: KD ⊥ BC.
- Vậy ta có: KD ⊥ BC.
- Vì KD ⊥ BC và FD là đường thẳng đi qua điểm K và vuông góc với BC, nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
- Vậy ta có: FD là tiếp tuyến của đường tròn (O).