a) Ta có AB = 8cm và BC = 10cm. Vì AC < AB nên ta có AC < 8cm.
Vì đường tròn (O) có đường kính BC nên OB = OC = BC/2 = 5cm.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAB, ta có:
OA^2 = OB^2 + AB^2
OA^2 = 5^2 + 8^2
OA^2 = 25 + 64
OA^2 = 89
OA = √89
Vậy độ dài AC = OA - OC = √89 - 5 cm.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
cos(ABC) = (8^2 + 10^2 - (√89 - 5)^2) / (2 * 8 * 10)
cos(ABC) = (64 + 100 - (89 - 10√89 + 25)) / 160
cos(ABC) = (189 + 10√89) / 160

Vậy số đo góc ABC = arccos((189 + 10√89) / 160).

b) Ta cần chứng minh A, O, B, D cùng thuộc một đường tròn và OD // AC.
Gọi E là giao điểm của AC và BD.
Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên góc AOB = 90 độ.
Vì OB = OC nên góc OBC = góc OCB.
Vì AB // CD nên góc OBC = góc CDE.
Vậy góc CDE = góc OCB = góc OBC = góc AOB = 90 độ.
Vậy A, O, B, D cùng thuộc một đường tròn.

Vì góc CDE = 90 độ nên góc CED = 90 độ.
Vì góc CED = góc OBC nên góc OBC = 90 độ.
Vậy OD // AC.

c) Ta cần chứng minh KH.AD = AH.KD.
Vì OD // AC nên góc KOD = góc KAD.
Vì A, O, B, D cùng thuộc một đường tròn nên góc ABD = góc AOD.
Vậy góc KAD = góc ABD.
Vì góc ABD = góc AHD nên góc KAD = góc AHD.
Vậy tam giác KAD và HAD đồng dạng.
Vậy KH/HA = KD/AD.
Vậy KH.AD = AH.KD.