Cho tam giác ABC nhọn ( AB>AC), Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm  D sao cho AD vuông góc với AB và AD=AB

Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

1) Ta có AD vuông góc với AB và AD=AB, suy ra tam giác ADB là tam giác vuông cân tại D. Tương tự, tam giác AEC cũng là tam giác vuông cân tại E.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, tam giác AMB và tam giác AHC là đồng dạng (cùng có góc vuông và góc nhọn).

Vậy, ta có tam giác DHA đồng dạng với tam giác AMB. Do đó, ta có DHA = AMB.

2) Ta có DH vuông góc với AM và EK vuông góc với AM. Vì tam giác AMB và tam giác AHC là đồng dạng, nên ta có DH || EK.

Vì DH || EK và DH = EK (cùng là đường cao của tam giác AHC), suy ra DH = EK.

3) Gọi O là giao điểm của DE và HK. Ta cần chứng minh O là trung điểm của HK và DE.

Vì DH || EK và DH = EK, suy ra tam giác DHO và tam giác EKO là tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có DO/EO = DH/EK = 1/1 = 1.

Vậy, O là trung điểm của DE và HK.

Bài 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |2x+3| + |x-1| + |x-2|, ta xét các trường hợp:

- Khi x ≤ -3, ta có 2x+3 ≤ 0, x-1 ≤ 0, x-2 ≤ 0. Do đó, A = -(2x+3) - (x-1) - (x-2) = -4x.

- Khi -3 < x ≤ 1, ta có 2x+3 ≥ 0, x-1 ≤ 0, x-2 ≤ 0. Do đó, A = (2x+3) - (x-1) - (x-2) = 2x+6.

- Khi 1 < x ≤ 2, ta có 2x+3 ≥ 0, x-1 ≥ 0, x-2 ≤ 0. Do đó, A = (2x+3) + (x-1) - (x-2) = 3x+4.

- Khi x > 2, ta có 2x+3 ≥ 0, x-1 ≥ 0, x-2 ≥ 0. Do đó, A = (2x+3) + (x-1) + (x-2) = 4x.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -4x khi x ≤ -3.