Cho tam giác ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm O sao cho OA=2OM

a) Ta có M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có BH = CK (do đường trung bình chia đôi đoạn thẳng nối hai đỉnh của tam giác).

b) Ta có OA = 2OM, nên ta có:
OH = OA - AH = 2OM - AM = OM,
OK = OA - AK = 2OM - AM = OM.

Vậy OH = OK = OM.

Ta có BE/AE = BF/AF (do EF // BC), nên ta có:
BE/AE + CF/AF = BF/AF + CF/AF = (BF + CF)/AF = BC/AF = 1 (do BF + CF = BC).

c) Giả sử BE/AE = x, CF/AF = y. Ta có:
x + y = 1 (do BE/AE + CF/AF = 1).

Ta có BE/AE * CF/AF = 1/4, nên xy = 1/4.

Ta có EF // BC, nên theo định lí Thales, ta có:
BE/EA = BF/FA = BC/AF.

Từ đó, ta có:
BE/EA = BC/AF = BC/(1 - BE) (do EA = 1 - BE).

Từ đó, ta có:
BC = BE/(1 - BE) * AF.

Thay giá trị của BC vào xy = 1/4, ta có:
BE/(1 - BE) * AF * x * y = 1/4.

Từ đó, ta có:
BE/(1 - BE) * AF * 1/4 = 1/4.

Simplifying, ta có:
BE/(1 - BE) * AF = 1.

Vậy, đường thẳng d song song với đường thẳng BC.