Cho tam giác ABC, M là trung điểm AB, vẽ MN//BC tại N

a) Ta có M là trung điểm AB, do đó MN//BC và MN cắt AB tại M. Vậy MN là đường trung bình của tam giác ABC.

b) Gọi O là giao điểm của tia phân giác của góc A với BC. Ta có:

- Vì MN//BC và N là trung điểm của IK, nên theo định lí Thales, ta có: $\frac{IB}{IM} = \frac{IC}{IN}$.

- Vì O là giao điểm của tia phân giác của góc A với BC, nên theo định lí phân giác, ta có: $\frac{OB}{OC} = \frac{IB}{IC}$.

- Vì M là trung điểm của AB, nên theo định lí trung điểm, ta có: $\frac{OB}{OA} = \frac{MB}{MA} = \frac{1}{2}$.

Từ các phương trình trên, ta có:

$\frac{IB}{IM} = \frac{IC}{IN} = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}$.

Vậy ta có tứ giác AICK là hình bình hành.

c) Ta có tứ giác AICK là hình bình hành, nên ta có $IC = AK$ và $IB = CK$.

Vậy $IB \cdot NC = IC \cdot MB$.