Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AD = 3BC

Để xác định giao điểm K của SC với mặt phẳng (a), ta cần xác định phương trình của mặt phẳng (a) và tìm điểm giao của đường thẳng SC với mặt phẳng (a).

Phương trình mặt phẳng (a) chứa đường thẳng BD và song song với mặt phẳng (MNP). Để xác định phương trình mặt phẳng (a), ta cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng BD.

Vì M là điểm trên cạnh AB thỏa mãn AM = 2MB, ta có:
AM = 2MB
AM + MB = 3MB
AB = 3MB

Vì đáy lớn AD = 3BC, ta có:
AB = AD + DB
3MB = AD + DB
DB = 3MB - AD

Vậy hai điểm thuộc đường thẳng BD là D và D' (D' là điểm đối xứng với D qua M).

Gọi I là trung điểm của DD'. Ta có:
DI = ID' = 1/2DD'

Vì N là trung điểm của SB, ta có:
SN = 2NB

Vì P là trung điểm của SD, ta có:
SP = 2PD

Vậy ta có các điểm:
I, N, P, S

Đặt tọa độ của các điểm như sau:
S(0, 0, 0)
I(xI, yI, zI)
N(xN, yN, zN)
P(xP, yP, zP)

Vì I là trung điểm của DD', ta có:
xI = (xD + xD')/2
yI = (yD + yD')/2
zI = (zD + zD')/2

Vì N là trung điểm của SB, ta có:
xN = (xS + xB)/2
yN = (yS + yB)/2
zN = (zS + zB)/2

Vì P là trung điểm của SD, ta có:
xP = (xS + xD)/2
yP = (yS + yD)/2
zP = (zS + zD)/2

Vì A, B, C, D, S là các điểm thuộc mặt phẳng (MNP), ta có:
Ax + By + Cz + D = 0
Bx + Cy + Dz + E = 0
Cx + Dy + Fz + G = 0
Dx + Ey + Fz + H = 0
Sx + Sy + Sz + J = 0

Vì mặt phẳng (a) chứa đường thẳng BD, ta có:
Bx + Dy + Fz + G' = 0

Vì mặt phẳng (a) song song với mặt phẳng (MNP), ta có:
Ax + By + Cz + D' = 0
Bx + Cy + Dz + E' = 0
Cx + Dy + Fz + G' = 0
Dx + Ey + Fz + H' = 0

Giải hệ phương trình trên để tìm các hệ số A, B, C, D, E, F, G, H, J, G', D', E', H'.

Sau khi tìm được các hệ số, ta có phương trình mặt phẳng (a):
Bx + Dy + Fz + G' = 0

Tìm điểm K là giao điểm của đường thẳng SC với mặt phẳng (a).

Gọi K(xK, yK, zK) là tọa độ của điểm K.

Đường thẳng SC có phương trình:
x = xS + t(xC - xS)
y = yS + t(yC - yS)
z = zS + t(zC - zS)

Thay các giá trị tọa độ của S và C vào phương trình đường thẳng SC, ta có:
x = 0 + t(xC - 0) = t(xC)
y = 0 + t(yC - 0) = t(yC)
z = 0 + t(zC - 0) = t(zC)

Thay các giá trị tọa độ của K vào phương trình đường thẳng SC, ta có:
xK = t(xC)
yK = t(yC)
zK = t(zC)

Thay các giá trị tọa độ của K vào phương trình mặt phẳng (a), ta có:
B(xK) + D(yK) + F(zK) + G' = 0

Thay các giá trị tọa độ của K vào phương trình mặt phẳng (a), ta có:
B(t(xC)) + D(t(yC)) + F(t(zC)) + G' = 0

Từ đó suy ra:
t(BxC + DyC + FzC) + G' = 0

Vậy ta có:
t = -G'/(BxC + DyC + FzC)

Thay giá trị của t vào phương trình đường thẳng SC, ta có:
xK = -G'/(BxC + DyC + FzC) * xC
yK = -G'/(BxC + DyC + FzC) * yC
zK = -G'/(BxC + DyC + FzC) * zC

Từ đó suy ra:
KC/KS = sqrt((xK - xS)^2 + (yK - yS)^2 + (zK - zS)^2)/sqrt(xS^2 + yS^2 + zS^2)

Tính toán các giá trị tọa độ và tính tỷ lệ KC/KS để tìm kết quả cuối cùng.